稀疏分布与高维壳：条件定理及反例

在同一外半径R下，若X在d维球内均匀分布，P(||X||<=aR)=a^d。若X均匀分布于嵌入该空间的k维子空间球，则概率为a^k。0<a<1、k<d时严格有a^k>a^d。

因此用户猜想在上述模型下成立。k仍很大时也有薄壳，只是由有效维度k决定，而非环境维度d。

r/R	128维均匀球（理论）	16维子空间均匀球（理论）	内部概率倍数
0.8	3.9402e-13	0.0281475	7.14367e+10
0.9	1.39008e-06	0.185302	133303
0.95	0.00140806	0.440127	312.576
0.99	0.276252	0.851458	3.08218

模拟构造4组实际128维向量，每组20000个，再测量其范数：全维均匀球、16维子空间均匀球、同样16稀疏但采用原128维球半径分布、以及全部固定在半径R的16稀疏点。前两者验证条件定理；后两者说明仅凭稀疏不能保证内部概率增加。

所有组外半径相同，但平均范数并未强行匹配。若把每个向量都归一化为相同范数，径向差异会被直接抹去。固定半径组的浮点误差约1e-16；理论上全部在球面，图中仅为数值表示。

这不证明好模型的参数更靠内部。用于模型时还需明确采样单元、中心、半径和缩放约定；参数可做保持功能的重参数化，原点距离不是模型质量不变量。

文件：run.py为生成程序；measured-radii.npz为全部实测范数；interior-probabilities.csv保留理论与经验概率；三种图格式及SHA清单便于长期保存。没有读取、训练或改动任何模型。

有限样本说明：每组20000个点不足以精确估计约1e-6的极小尾概率；极小概率和倍数以解析公式为准，不把零次命中当成严格零概率。